Информация о задаче

Задача 55614

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среди всех четырёхугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Подсказка

Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник. Пользуясь этим утверждением, превратите данный четырёхугольник в ромб.

Решение

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD с заданной площадью S. Будем последовательно уменьшать его периметр. Сначала превратим треугольники ABC и ACD в равнобедренные, перемещая их вершины B и D по прямым, параллельным диагонали AC. При этом площадь четырёхугольника не изменится, а периметр может только уменьшиться. Пусть ABCD уже такой четырёхугольник, что AB = BC и AD = DC.

Затем треугольники ABD и BCD, превратим в равнобедренные, перемещая их вершины A и C по прямой, параллельной диагонали BD. При этом снова площадь четырехугольника не изменится, а периметр может только уменьшиться.

Пусть все это уже проделано. Тогда полученный четырёхугольник ABCD — ромб (для простоты не меняем обозначений вершин). Если P — периметр исходного четырёхугольника, P₁ — периметр полученного ромба, $\alpha$ — угол между соседними сторонами ромба, то

S = AB²sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{P_{1}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{P_{1}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{P_{1}}{4}}\right)^{2}_{}$ sin $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

P $\displaystyle \geqslant$ P₁ = 4 $\displaystyle \sqrt{\frac{S}{\sin \alpha}}$ $\displaystyle \geqslant$ 4 $\displaystyle \sqrt{S}$ ,

причём равенство достигается только для квадрата.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5064