Информация о задаче

Задача 55615

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Берег реки — прямая линия. Отгородите от него прямоугольным забором общей длины p участок наибольшей площади.

Подсказка

Отразите линию забора относительно берега.

Решение

Отобразим линию забора симметрично от линии берега. Получим прямоугольник с периметром 2p. Этот прямоугольник достигает максимальной площади, когда он — квадрат со стороной ${\frac{p}{2}}$ .

Действительно, если x — сторона прямоугольника, то соседняя его сторона равна p - x. Тогда для площади S прямоугольника верно неравенство

S = x(p - x) $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{(x + (p - x))^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{p^{2}}{4}}$ ,

причём равенство достигается только в случае, когда x = p - x, т.е. при x = ${\frac{p}{2}}$ . Следовательно, длина участка равна ${\frac{p}{2}}$ , а ширина равна ${\frac{p}{4}}$ .

Ответ

Длина участка должна быть в два раза больше его ширины (половина квадрата).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5065