Информация о задаче

Задача 55634

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через точку M основания AB равнобедренного треугольника ABC, пересекает прямые AC и BC в точках A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что ${\frac{AA_{1}}{A_{1}M}}$ = ${\frac{BB_{1}}{B_{1}M}}$ .

Подсказка

Отобразите прямую A₁B₁ симметрично относительно прямой AB и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники. (Или примените теорему синусов.)

Решение

Первый способ.

Пусть A₂ и B₂ — такие точки на прямых AC и BC, что прямые A₂B₂ и A₁B₁ симметричны относительно прямой AB. Тогда треугольник AA₁M подобен треугольнику BB₂M по двум углам. Поэтому

$\displaystyle {\frac{AA_{1}}{A_{1}M}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{2}}{B_{2}M}}$ .

Поскольку MB — биссектриса угла B₂MB₁, то

$\displaystyle {\frac{BB_{2}}{B_{2}M}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{1}}{B_{1}M}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AA_{1}}{A_{1}M}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{1}}{B_{1}M}}$ .

Второй способ.

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AA_{1}}{A_{1}M}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \angle AMA_{1}}{\sin \angle MAA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \angle BMB_{1}}{\sin \angle MBB_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{1}}{B_{1}M}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5086