Задача 55635

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AC.

Решение

Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть AB = a, BC = b, CD = c, AD = d — данные стороны (для определенности будем считать, что a d), AC — биссектриса угла A.

При симметрии относительно прямой AC точка B переходит в точку B₁ луча AD. Поэтому

DB₁ = AD - AB₁ = d - a, CB₁ = CB = b.

В треугольнике CB₁D известны все стороны.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник CB₁D по трём сторонам ( DB₁ = d - a, CB₁ = b, CD = c). Затем на продолжении стороны DB₁ за точку B₁ откладываем отрезок B₁A = a. Тогда AC — диагональ искомого четырёхугольника. Вершина B симметрична точке точке B₁ относительно прямой AC.

Если ADAB и существует треугольник со сторонами b, c и d - a, то задача имеет единственное решение. Если a = d и b = c, то решений бесконечно много. Если же a = d, а cb, то решений нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5087