Версия для печати
Убрать все задачи

---

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон – ¹/_s пистолей, где s не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).

  а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?

  б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AC.

Решение

Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть AB = a, BC = b, CD = c, AD = d — данные стороны (для определенности будем считать, что a d), AC — биссектриса угла A.

При симметрии относительно прямой AC точка B переходит в точку B₁ луча AD. Поэтому

В треугольнике CB₁D известны все стороны.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник CB₁D по трём сторонам ( DB₁ = d - a, CB₁ = b, CD = c). Затем на продолжении стороны DB₁ за точку B₁ откладываем отрезок B₁A = a. Тогда AC — диагональ искомого четырёхугольника. Вершина B симметрична точке точке B₁ относительно прямой AC.

Если ADAB и существует треугольник со сторонами b, c и d - a, то задача имеет единственное решение. Если a = d и b = c, то решений бесконечно много. Если же a = d, а cb, то решений нет.

Источники и прецеденты использования