ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55641
Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Среди всех треугольников ABC с данным углом C и стороной AB найдите треугольник с наибольшим возможным периметром.


Подсказка

Постройте точку A1, симметричную вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C треугольника ABC.


Решение

Пусть A1 — точка, симметричная вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C. Тогда

BA1 = A1C + BC = AC + BC.

Поскольку ACB — внешний угол равнобедренного треугольника ACA1, то $ \angle$AA1B = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$ACB. Значит, геометрическое место точек A1 есть дуга фиксированной окружности, проходящей через точки A и B, расположенная в по ту же сторону от прямой AB, что и точка C, причём угловая величина этой дуги равна угловой величине данного угла ACB

Отрезок BA1 максимален, если BA1 — диаметр окружности. Тогда точка C — центр этой окружности. Следовательно, CA = CB.


Ответ

Равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5094

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .