Задача 55641

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Среди всех треугольников ABC с данным углом C и стороной AB найдите треугольник с наибольшим возможным периметром.

Подсказка

Постройте точку A₁, симметричную вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C треугольника ABC.

Решение

Пусть A₁ — точка, симметричная вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C. Тогда

BA₁ = A₁C + BC = AC + BC.

Поскольку ACB — внешний угол равнобедренного треугольника ACA₁, то AA₁B = ACB. Значит, геометрическое место точек A₁ есть дуга фиксированной окружности, проходящей через точки A и B, расположенная в по ту же сторону от прямой AB, что и точка C, причём угловая величина этой дуги равна угловой величине данного угла ACB

Отрезок BA₁ максимален, если BA₁ — диаметр окружности. Тогда точка C — центр этой окружности. Следовательно, CA = CB.

Ответ

Равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5094