Задача 55642

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник наибольшего возможного периметра.

Подсказка

Докажите, что среди всех треугольников с данной стороной AB и данным противолежащим углом C наибольший периметр имеет равнобедренный.

Решение

Докажем, что среди всех треугольников с данной стороной AB и данным противолежащим углом C наибольший периметр имеет равнобедренный.

Пусть A₁ — точка, симметричная вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C треугольника ABC. Тогда

BA₁ = BC + CA₁ = BC + AC,

а точка A₁ лежит лежит на окружности, проходящей через точки A и B так, что AB = C.

Если BA₁ максимально, то BA₁ — диаметр. Тогда C — центр этой окружности и CA = CB.

Ответ

Равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5095