Информация о задаче

Задача 55655

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан вписанный 2n-угольник с углами $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , ..., $\beta_{2n}^{}$ . Докажите, что

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n-1}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ .

Верно ли обратное?

Подсказка

Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.

Решение

Пусть A₁A₂...A_2n — вписанный 2n-угольник с углами $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , ..., $\beta_{2n}^{}$ соответственно. Тогда серединные перпендикуляры l₁, l₂, ..., l_2n к его сторонам A₁A₂, A₂A₃, ..., A_2nA₁ пересекаются в одной точке O (центре описанной окружности).

Обозначим через $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{2n}^{}$ углы между прямыми l_2n и l₁, l₁ и l₂, ..., l_{2n - 1} и l_2n, содержащие вершины A₁, A₂, ..., A_2n соответственно.

Композиция 2n симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_2n есть тождественное преобразование (т.к., например, точка A₁, не лежащая ни на одной из этих прямых, остается на месте), т.е. поворот на угол, кратный 360^o.

С другой стороны, композиция симметрий относительно прямых l₁ и l₂ есть поворот на угол 2 $\alpha_{2}^{}$ вокруг точки O, относительно прямых l₃ и l₄ — поворот на угол 2 $\alpha_{4}^{}$ и т.д. Поэтому

2 $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + 2 $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ 2 $\displaystyle \alpha_{2n}^{}$ = 360^{o .}k

гже k — целое. Тогда

$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n}^{}$ = 180^{o .}k,

180^o - $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + 180^o - $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ 180^o - $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ = 180^{o .}k.

Отсюда находим, что

$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ = 180^{o .}(n - k).

Аналогично докажем, что

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n-1}^{}$ = 180^{o .}(n - k).

Следовательно,

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n-1}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ .

Обратное утверждение верно лишь для n = 2. В этом случае из равенств

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ , $\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ = 360^o

следует, что

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ = 180^o,

т.е. около четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть n > 2. Рассмотрим вписанный 2n-угольник A₁A₂...A_2n, в котором

$\displaystyle \beta_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n-1}^{}$ = $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \beta_{2n}^{}$ .

На его сторонах A₂A₃ и A₁A_2n выберем отличные от вершин точки P и Q так, что PQ || A₁A_2n. Углы 2n-угольника PA₂...A_{2n - 1}Q соответственно равны углам 2n-угольника A₁A₂...A_2n, но около 2n-угольника PA₂...A_{2n - 1}Q нельзя описать окружность, т.к., например, через точки A₂, A₃, A₄ проходит единственная окружность, а точки P и Q на ней не лежат.

Ответ

Обратное верно только для n = 2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5109