Информация о задаче

Задача 55663

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Поворот (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана прямая l и точка O на ней. Докажите, что композиция поворота вокруг точки O на угол $\alpha$ и симметрии относительно прямой l есть осевая симметрия относительно прямой, проходящей через точку O и составляющей с прямой l угол ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Подсказка

Замените поворот композицией двух осевых симметрий.

Решение

Заменим поворот на угол $\alpha$ композицией двух осевых симметрий относительно прямых l₁ и l₂, пересекающихся в точке O под углом ${\frac{\alpha}{2}}$ . Затем повернём прямые l₁ и l₂ так, чтобы l₁ совпала с l. Тогда прямая l₂ переходит в некоторую прямую l₃. Композиция симметрий при этом не меняется. Получаем симметрию относительно прямой l₃, а затем — тождественное преобразование (две симметрии относительно прямой l). В результате имеем симметрию относительно прямой l₃. Эта прямая проходит через точку O и составляет с прямой l угол ${\frac{\alpha}{2}}$ .

(S_loR_O = S_lo(S_l₁oS_l₂) = S_lo(S_loS_l₃) = EoS_l₃ = S_l₃.)

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5122