Задача 55669

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Композиции поворотов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что композиция n осевых симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n, проходящих через точку O, есть:

а) поворот, если n чётно;

б) осевая симметрия, если n нечётно.

Подсказка

Композиция двух симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот. Композиция поворота и симметрии относительно прямой, проходящей через центр поворота, есть осевая симметрия.

Решение

а) Пусть n — чётно. Группируя прямые по парам: l₁ с l₂, l₃ с l₄, ..., l_{n - 1} с l_n, получим композицию поворотов вокруг точки O, т.е. поворот.

б) Пусть n — нечётно. Группируя первые n - 1 прямых по парам, получим композицию поворотов вокруг точки O и симметрии относительно прямой l_n, т.е. осевую симметрию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5128