Задача 55670

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что композиция симметрий относительно n параллельных прямых l₁, l₂, ..., l_n есть:

а) параллельный перенос, если n чётно;

б) осевая симметрия, если n нечётно.

Подсказка

Композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос. Композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.

Решение

Первое преобразование — параллельный перенос на вектор, перпендикулярный l и m и равный по модулю 2h, где h — расстояние между l и m.

Второе — параллельный перенос на вектор,перпендикулярный l₁ и m₁ и равный по модулю 2h₁, где h₁ — расстояние между l₁ и m₁. Остается заметить, что h = h₁.

а) Пусть n — чётно. Группируя прямые по парам: l₁ с l₂, l₃ с l₄, ..., l_{n - 1} с l_n, получим композицию параллельных переносов, т.е. параллельный перенос.

б) Пусть n — нечётно. Группируя первые n - 1 прямых по парам, получим композицию параллельных переносов и симметрии относительно прямой l_n, т.е. осевую симметрию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5129