Задача 55746
|
Название задачи: Теорема Наполеона.. |
 |
Условие
На сторонах произвольного треугольника внешним образом
построены правильные треугольники. Докажите, что их центры
образуют правильный треугольник.
Решение
Пусть O1 , O2 и O3 — центры указанных правильных
треугольников A1BC , B1AC и C1AB , построенных на сторонах
треугольника ABC . Тогда
При композиции поворотов на 120o вокруг центров O1 , O2 , O3 точка B перейдёт в себя.
Поскольку сумма углов этих поворотов равна 360o , то такая композиция есть параллельный перенос, а т.к. B — неподвижная точка параллельного переноса, то это тождественное преобразование. Следовательно, композиция поворотов на 120o вокруг точек O1 и O2 есть поворот на угол (-120o) вокруг точки O3 .
С другой стороны, каждый из этих поворотов можно представить как композицию двух симметрий:
где l — это прямая O1O2 , a и b — прямые, проходящие соответственно через точки O1 и O2 и образующие с прямой l углы 60o и -60o .
Тогда прямые a и b пересекутся в центре поворота, являющегося композицией этих двух поворотов, т.е. в точке O3 . Следовательно, треугольник O1O2O3 — равносторонний.
