Задача 55748

Темы:    [ Композиции поворотов ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте многоугольник с нечётным числом сторон, зная середины его сторон.

Подсказка

Композиция нечётного числа центральных симметрий есть центральная симметрия.

Решение

Предположим, что нужный многоугольник A₁A₂...A_{2n - 1} построен. Пусть B₁, B₂, ..., B_{2n - 1} — данные середины его сторон A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{2n - 1}A₁.

При композиции симметрий относительно точек B₁, B₂, ..., B_{2n - 1} вершина A₁ переходит в себя. С другой стороны, эта композиция представляет собой некотороую центральную симметрию (поворот на 180^o). Следовательно, вершина A₁ (неподвижная точка) — центр этой симметрии.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ M₁ произвольной точки M при композиции симметрий относительно данных точек B₁, B₂, ..., B_{2n - 1}. Середина отрезка MM₁ есть вершина A₁ искомого многоугольника.

Аналогично находятся остальные вершины.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6032