Задача 55757

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

Подсказка

Рассмотрите образы центра и произвольной точки данной окружности при гомотетии с центром в данной точке.

Решение

Пусть O₁ — образ центра O окружности S радиуса R при гомотетии с центром в точке Q и коэффициентом k. Пусть k > 0. Если M — произвольная точка этой окружности, а M₁ — её образ при рассматриваемой гомотетии, то

O₁M₁ = kOM = kR.

Следовательно, точка M₁ лежит на окружности S₁ с центром O₁ и радиусом kR.

Ясно также, что любая точка окружности S₁ является образом некоторой точки окружности S при этой гомотетии (достаточно рассмотреть образ этой точки при обратной гомотетии, т.е. при гомотетии с центром Q и коэффициентом ).

Аналогично для k < 0.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6400