Информация о задаче

Задача 55766

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки A и B и прямая l. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников ABC, если точка C движется по прямой l?

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром в середине отрезка AB и коэффициентом ${\frac{1}{3}}$ .

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC, K — середина отрезка AB. Тогда KM = ${\frac{1}{3}}$ KC. Поэтому при гомотетии с центром K и коэффициентом ${\frac{1}{3}}$ точка C переходит в точку M.

Так будет для любой точки C прямой l, за исключением случая, когда C — точка пересечения прямых AB и l (если она есть). Следовательно, искомая траектория есть образ прямой l при гомотетии с центром K и коэффициентом ${\frac{1}{3}}$ , т.е. прямая (за исключением, может быть, одной точки).

Ответ

Прямая или прямая без точки.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6409