Задача 55779

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник другой треугольник, стороны которого соответственно параллельны трём данным прямым.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром в одной из вершин данного треугольника.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть вершины A₁, B₁, C₁ треугольника A₁B₁C₁ лежат на сторонах соответственно BC, AC и AB данного треугольника ABC, а стороны B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ соответственно параллельны трём данным прямым a, b и c.

Пусть C₂ — произвольная точка луча AB. Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую точку C₂ в точку C₁. При этой гомотетии треугольник A₁B₁C₁ переходит в треугольник A₂B₂C₂, стороны которого соответственно параллельны прямым a, b и c, а вершина A₂ лежит на луче AA₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим произвольный треугольник A₂B₂C₂, стороны которого B₂C₂, A₂C₂ и A₂B₂ соответственно параллельны данным прямым a, b и c, а вершины C₂ и B₂ лежат на лучах AB и AC. Пересечение луча AA₂ со стороной BC есть искомая вершина A₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6422