Информация о задаче

Задача 55780

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причём лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.

Подсказка

Отложите на лучах OA и OD отрезки OB₁ и OC₁, равные AB и CD соответственно, и докажите, что треугольник OB₁C₁ гомотетичен треугольнику с вершинами в серединах отрезков AD, AC и BD. (Или спроектируйте середины отрезков AC и BD на указанную биссектрису).

Решение

Первый способ.

Пусть M и N — середины диагоналей AC и BD, а K — середина стороны AD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OB₁ и OC₁, равные AB соответственно. Поскольку MK и KN — средние линии треугольников ACD и DAB, то стороны равнобедренного треугольника MKN соответственно параллельны сторонам треугольника C₁OB₁, а т.к. биссектриса равнобедренного треугольника C₁OB₁ перпендикулярна основанию B₁C₁, то она перпендикулярна и прямой MN, параллельной этому основанию.

Второй способ.

Обозначим $\angle$ AOD = 2 $\alpha$ . Пусть M₁ и N₁ — проекции середин M и N диагоналей AC и BD на биссектрису угла AOD. Тогда

OM₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AO + OC)cos $\displaystyle \alpha$ , ON₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (OD + OB)cos $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку

AO + OC = AB + OB + OC = CD + OB + OC =

= OB + (OC + CD) = OB + OD,

то точки M₁ и N₁ совпадают. Следовательно, MN перпендикулярно биссектрисе угла AOD.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6423