Задача 56497

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l₁ и l₂, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB₁, BB₂, DD₁ и DD₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки B₁B₂ и D₁D₂ равны и перпендикулярны.

Решение

Прямоугольные треугольники ABB₁ и DAD₁ равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому  D₁A = B₁B.  Аналогично  AD₂ = BB₂.  Поскольку
∠D₁AD₂ = ∠B₁BB₂,  то треугольники D₁AD₂ и B₁BB₂ равны. Стороны AD₁ и BB₁ (а также AD₂ и BB₂) этих треугольников перпендикулярны, поэтому
B₁B₂ ⊥ D₁D₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.041