Условие
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Решение
Пусть на сторонах AB и BC построены прямоугольники ABC1D1 и A2BCD2, P, Q, R и S – центры прямоугольников, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA. Так как ∠ABC + ∠ADC = 180°, то ∠A2BC1 = ∠ADC. Значит, ∠PBQ = ∠SDR, и треугольники RDS и PBQ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому RS = PQ. Аналогично QR = PS. Следовательно, PQRS – параллелограмм, причём один из треугольников RDS и PBQ построен на его сторонах внешним образом, а другой внутренним. Аналогичное утверждение справедливо и для треугольников QCR и SAP. Поэтому
∠PQR + ∠RSP = ∠BQC + ∠DSA = 180°, так как ∠PQB = ∠RSD и ∠RQC = ∠PSA. Следовательно, PQRS – прямоугольник.
Источники и прецеденты использования
