Условие
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.
Решение
Пусть K, L, M – точки пересечения описанных окружностей треугольников FOA и BOC, BOC и DOE, DOE
и FOA; 2α, 2β и 2γ – углы при вершинах равнобедренных треугольников BOC, DOE и FOA (см. рис.). Точка K лежит на дуге OB описанной окружности равнобедренного треугольника BOC, поэтому ∠OKB = 180° – ∠OCB = 90° + α. Аналогично ∠OKA = 90° + γ. Так как α + β + γ = 90°, то ∠AKB = 90° + β. Внутри правильного треугольника AOB существует единственная точка K, из которой его стороны видны под данными углами. Аналогичные рассуждения для точки L, лежащей внутри треугольника COD, показывают, что треугольники OKB и CLO равны.
∠COL = ∠KBO, поэтому ∠KOB + ∠COL = 180° – ∠OKB = 90° – α, а значит, ∠KOL = 2α + (90° – α) = 90° + α = ∠OKB. Следовательно, треугольники KOL и OKB тоже равны, и KL = OB = R. Аналогично LM = MK = R.
Источники и прецеденты использования
