Задача 56502

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Решение

Пусть P, Q и R – центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма с острым углом α при вершине A. Тогда
∠PAQ = 90° + α = ∠RBQ,  а значит, треугольники PAQ и RBQ равны. Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому  PQ ⊥ QR.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.046