ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56503
Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A', B' и C', причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны α, β и γ.


Решение

Заметим сначала, что сумма углов при вершинах A, B и C шестиугольника AB'CA'BC' равна 360°, так как по условию сумма его углов при остальных вершинах равна 360°. Построим на стороне AC' внешним образом треугольник AC'P, равный треугольнику BC'A' (см. рис.). Тогда треугольники AB'P и CB'A' равны, так как   AB' = CB',  AP = CA'  и  ∠PAB' = 360° – ∠PAC' – ∠C'AB' = 360° – ∠A'BC' – ∠C'AB' = ∠A'CB'.  Следовательно, треугольники C'B'A' и C'B'P равны, а значит,  2∠A'B'C' = ∠PB'A' = ∠AB'C,  так как  ∠PB'A = ∠A'B'C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 4
Название Вспомогательные равные треугольники
Тема Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер 01.047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .