Задача 56504

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB₁С и AC₁B внешним образом и BA₁C внутренним образом. Докажите, что AB₁A₁C₁ – параллелограмм.

Решение

Так как  BA : BC = BC₁ : BA₁  и  ∠ABC = ∠C₁BA₁,  то треугольники ABC и C₁BA₁ подобны. Аналогично подобны треугольники ABC и B₁A₁C. А так как
BA₁ = A₁C,  то треугольники C₁BA₁ и B₁A₁C равны. Следовательно,  AC₁ = C₁B = B₁A₁  и  AB₁ = B₁C = C₁A₁.  Ясно также, что четырёхугольник AB₁A₁C₁ выпуклый.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.048