Задача 56505

Тема:    [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причём  ∠C₁ = ∠B₁ = 90°,
∠ABC₁ = ∠ACB₁ = φ,  M – середина BC. Докажите, что  MB₁ = MC₁ и  ∠B₁MC₁ = 2φ.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Решение

  а) Пусть P и Q – середины сторон AB и AC. Тогда  MP = ^AC/₂ = QB₁,  MQ = ^AB/₂ = PC₁.  Если точки A и P находятся по одну сторону от прямой MC₁, то
∠C₁PM = ∠C₁PB + ∠BPM = ∠B₁QC + ∠CQM = ∠B₁QM.  Следовательно, треугольники MQB₁ и C₁PM равны, а значит,  MC₁ = MB₁.  Кроме того,
∠PMC₁ + ∠QMB₁ = ∠QB₁M + ∠QMB₁ = 180° – ∠MQB₁,  а  ∠MQB₁ = ∠A + ∠CQB₁ = ∠A + (180° – 2φ).  Следовательно,  ∠B₁MC₁ = ∠PMQ + 2φ – ∠A = 2φ.
  Случай, когда точки A и P находятся по разные стороны от прямой MC₁, разбирается аналогично.

  б) Возьмём на сторонах AB и AC такие точки B' и C', что  AB' : AB = AC' : AC = 2 : 3.  Середина M отрезка B'C' совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC. Построим на сторонах AB' и AC' внешним образом прямоугольные треугольники AB'C₁ и AB ₁C' с углом  φ = 60°.  Тогда B₁ и C₁ – центры правильных треугольников, построенных на сторонах AB и AC. С другой стороны, согласно а)  MB₁ = MC₁  и  ∠ B₁MC₁ = 120°.

Замечания

Утверждения задач а) и б) остаются верными и для треугольников, построенных внутренним образом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.049