Условие
Дан треугольник
ABC. Постройте две прямые
x и
y так, чтобы для
любой точки
M на стороне
AC сумма длин отрезков
MXM и
MYM,
проведенных из точки
M параллельно прямым
x и
y до пересечения со
сторонами
AB и
BC треугольника, равнялась 1.
Решение
Пусть
M =
A. Тогда
XA =
A, поэтому
AYA = 1.
Аналогично
CXC = 1. Докажем, что
y =
AYA и
x =
CXC — искомые
прямые. Возьмем на стороне
BC точку
D так, что
AB ||
MD
(рис.). Пусть
E — точка пересечения прямых
CXC и
MD.
Тогда
XMM +
YMM =
XCE +
YMM. Так как
ABC 
MDC,
то
CE =
YMM. Поэтому
XMM +
YMM =
XCE +
CE =
XCC = 1.
Источники и прецеденты использования
