Задача 56517

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Дан треугольник ABC. Постройте две прямые x и y так, чтобы для любой точки M на стороне AC сумма длин отрезков MX_M и MY_M, проведенных из точки M параллельно прямым x и y до пересечения со сторонами AB и BC треугольника, равнялась 1.

Решение

Пусть M = A. Тогда X_A = A, поэтому AY_A = 1. Аналогично CX_C = 1. Докажем, что y = AY_A и x = CX_C — искомые прямые. Возьмем на стороне BC точку D так, что  AB || MD (рис.). Пусть E — точка пересечения прямых CX_C и MD. Тогда  X_MM + Y_MM = X_CE + Y_MM. Так как  ABC MDC, то CE = Y_MM. Поэтому  X_MM + Y_MM = X_CE + CE = X_CC = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.061