Задача 56520

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC. D — такая точка на S₃, что BD AC. Общая касательная к S₁ и S₂, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S₃, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

Решение

а) Пусть O — середина AC, O₁ — середина AB, O₂ — середина BC. Будем считать, что AB BC. Проведем через точку O₁ прямую O₁K параллельно EF (K — точка на отрезке EO₂). Докажем, что прямоугольные треугольники DBO и O₁KO₂ равны. В самом деле,  O₁O₂ = DO = AC/2 и  BO = KO₂ = (BC - AB)/2. Из равенства треугольников DBO и O₁KO₂ следует, что  BOD = O₁O₂E, т. е. прямая DO параллельна EO₂ и касательная, проведенная через точку D, параллельна прямой EF.
б) Так как углы между диаметром AC и касательными к окружностям в точках F, D, E равны, то  FAB = DAC = EBC и  FBA = DCA = ECB, т. е. F лежит на отрезке AD, E — на отрезке DC. Кроме того,  AFB = BEC = ADC = 90^o, поэтому FDEB — прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.064