Информация о задаче

Задача 56521

Тема:

[

Подобные фигуры

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на его две противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Решение

Пусть MQ и MP — перпендикуляры, опущенные на стороны AD и BC, MR и MT — перпендикуляры, опущенные на продолжения сторон AB и CD (рис.). Обозначим через M₁ и P₁ вторые точки пересечения прямых RT и QP с окружностью.
Так как TM₁ = RM = AQ и TM₁ || AQ, то AM₁ || TQ. Аналогично AP₁ || RP. Поскольку $\angle$ M₁AP₁ = 90^o, то RP $\perp$ TQ.
Обозначим точки пересечения прямых TQ и RP, M₁A и RP, P₁A и TQ через E, F, G соответственно. Чтобы доказать, что точка E лежит на прямой AC, достаточно доказать, что прямоугольники AFEG и AM₁CP₁ подобны. Так как $\angle$ ARF = $\angle$ AM₁R = $\angle$ M₁TG = $\angle$ M₁CT, можно обозначить величины этих углов одной буквой $\alpha$ . AF = RA sin $\alpha$ = M₁A sin² $\alpha$ , AG = M₁T sin $\alpha$ = M₁C sin² $\alpha$ , поэтому прямоугольники AFEG и AM₁CP₁ подобны.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.065