Задача 56521

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на его две противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Решение

Пусть MQ и MP — перпендикуляры, опущенные на стороны AD и BC, MR и MT — перпендикуляры, опущенные на продолжения сторон AB и CD (рис.). Обозначим через M₁ и P₁ вторые точки пересечения прямых RT и QP с окружностью.
Так как  TM₁ = RM = AQ и  TM₁ || AQ, то  AM₁ || TQ. Аналогично  AP₁ || RP. Поскольку  M₁AP₁ = 90^o, то  RP TQ.
Обозначим точки пересечения прямых TQ и RP, M₁A и RP, P₁A и TQ через E, F, G соответственно. Чтобы доказать, что точка E лежит на прямой AC, достаточно доказать, что прямоугольники AFEG и AM₁CP₁ подобны. Так как  ARF = AM₁R = M₁TG = M₁CT, можно обозначить величины этих углов одной буквой .  AF = RA sin = M₁A sin²,  AG = M₁T sin  = M₁C sin², поэтому прямоугольники AFEG и AM₁CP₁ подобны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.065