Задача 56522

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Решение

Обозначим центры окружностей через O₁ и O₂. Внешняя касательная касается первой окружности в точке K, а второй окружности в точке L; внутренняя касательная касается первой окружности в точке M, а второй окружности в точке N (рис.). Пусть прямые KM и LN пересекают прямую O₁O₂ в точках P₁ и P₂ соответственно. Надо доказать, что P₁ = P₂. Рассмотрим точки A, D₁, D₂ пересечения прямых KL и MN, KM и O₁A, LN и O₂A соответственно.  O₁AM + NAO₂ = 90^o,
поэтому прямоугольные треугольники O₁MA и ANO₂ подобны, а также  AO₂ || KM и  AO₁ || LN. Из параллельности этих прямых получаем  AD₁ : D₁O₁ = O₂P₁ : P₁O₁ и  D₂O₂ : AD₂ = O₂P₂ : P₂O₁. Из подобия четырехугольников AKO₁M и O₂NAL получаем  AD₁ : D₁O₁ = D₂O₂ : AD₂. Следовательно,  O₂P₁ : P₁O₁ = O₂P₂ : P₂O₁, т. е. P₁ = P₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.066