Условие
К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна
внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из
которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей.
Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена
на прямой, соединяющей центры окружностей.
Решение
Обозначим центры окружностей через
O1 и
O2. Внешняя
касательная касается первой окружности в точке
K, а второй
окружности в точке
L; внутренняя касательная касается первой
окружности в точке
M, а второй окружности в точке
N (рис.).
Пусть прямые
KM и
LN пересекают прямую
O1O2 в точках
P1
и
P2 соответственно. Надо доказать, что
P1 =
P2. Рассмотрим
точки
A,
D1,
D2 пересечения
прямых
KL и
MN,
KM и
O1A,
LN
и
O2A соответственно.
O1AM +
NAO2 = 90
o,
поэтому прямоугольные треугольники
O1MA и
ANO2 подобны, а
также
AO2 ||
KM и
AO1 ||
LN. Из параллельности этих
прямых получаем
AD1 :
D1O1 =
O2P1 :
P1O1
и
D2O2 :
AD2 =
O2P2 :
P2O1.
Из подобия четырехугольников
AKO1M и
O2NAL получаем
AD1 :
D1O1 =
D2O2 :
AD2. Следовательно,
O2P1 :
P1O1 =
O2P2 :
P2O1, т. е.
P1 =
P2.
Источники и прецеденты использования
