Задача 56528

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B, а также через точки C и D проводятся параллельные прямые.
Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных точках.

Решение

  Рассмотрим случай, когда точки A, B, C, D расположены именно в таком порядке. Пусть после проведения пар параллельных прямых образовался параллелограмм KLMN (см. рис.), причём прямая KM пересекает l в точке T. Проведём через точку K прямую  m || l,  пересекающую прямые AM и DM в точках P и Q соотвественно. Тогда точка T делит отрезок AD в отношении  PK : KQ = AB : CD.

Аналогично прямая LN делит отрезок BD внешним образом в отношении  AB : CD.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	7
Название	Задачи для самостоятельного решения
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.072