ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56545
Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек A является отрезок и найдите его длину.

Решение

Пусть O — вершина данного прямого угла. Точки O и A лежат на окружности с диаметром BC, поэтому $ \angle$AOB = $ \angle$ACB = $ \angle$C. Из этого следует, что точка A движется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный $ \angle$C. В крайних положениях расстояния от точки A до точки O равны гипотенузе BC и наименьшему катету BA. Действительно, OA = BC sin$ \varphi$, где $ \varphi$ = $ \angle$OCA. Угол $ \varphi$ изменяется от $ \angle$C до 90o + $ \angle$C = 180o - $ \angle$B, поэтому наибольшее значение sin$ \varphi$ равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin C и sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точка A, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольника ABC.

Замечание 1. Аналогичное утверждение верно для любого треугольника ABC, вершины которого скользят по сторонам угла MON, равного  180o - $ \angle$A.

Замечание 2. В случае, когда угол A не прямой, вершина A движется по эллипсу (задача 31-ellCos1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 1
Название Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер 02.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .