Задача 56545

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек A является отрезок и найдите его длину.

Решение

Пусть O — вершина данного прямого угла. Точки O и A лежат на окружности с диаметром BC, поэтому AOB = ACB = C. Из этого следует, что точка A движется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный C. В крайних положениях расстояния от точки A до точки O равны гипотенузе BC и наименьшему катету BA. Действительно, OA = BC sin, где = OCA. Угол изменяется от C до 90^o + C = 180^o - B, поэтому наибольшее значение sin равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin C и sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точка A, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольника ABC.

Замечание 1. Аналогичное утверждение верно для любого треугольника ABC, вершины которого скользят по сторонам угла MON, равного  180^o - A.

Замечание 2. В случае, когда угол A не прямой, вершина A движется по эллипсу (задача 31-ellCos1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.005