Задача 58530

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Вершины A и B треугольника ABC скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол C не прямой, то вершина C перемещается при этом по эллипсу.

Решение

Пусть вершина A скользит по оси Ox, а вершина B — по оси Oy. Опустим из вершины C высоту CH на сторону AB. Пусть AH = q, CH = h и BAO = φ. Тогда точка C имеет координаты

x = h sin + (c - q)cos,    y = q sin + h cos.

Поэтому согласно задаче 31.062 точка C движется по кривой

(q² + h²)x² - 2chxy + (h² + (c - q)²)y² = (h² - q(c - q)).

Поэтому если h² ≠ q(c - q), то точка C движется по эллипсу.
Угол C прямой тогда и только тогда, когда (h² + q²) + (h² + (c - q)²) = c², т.е. h² = q(c - q).
Замечание. Если угол C прямой, то точка C движется по отрезку (см. задачу 2.5).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.063