Задача 56554

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 6 Классы: 7,8

Условие

Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

Решение

Пусть прямые FG, GE и EF проходят через точки A, B и C, причем треугольник EFG равносторонний, т. е. (GE, EF) = (EF, FG) = (FG, GE) = ±60^o. Тогда (BE, EC) = (CF, FA) = (AG, GB) = ±60^o. Выбрав один из знаков, получим три окружности S_E, S_F и S_G, на которых должны лежать точки E, F и G. Любая точка E окружности S_E однозначно определяет треугольник EFG.
Пусть O — центр треугольника EFG; P, R и Q — точки пересечения прямых OE, OF и OG с соответствующими окружностями S_E, S_F и S_G. Докажем, что P, Q и R — центры правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC (для одного семейства внешним образом, для другого внутренним), а точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR. Ясно, что  (CB, BP) = (CE, EP) = (EF, EO) = 30^o, a  (BP, CP) = (BE, EC) = (GE, EF) = ±60^o. Поэтому  (CB, CP) = (CB, BP) + (BP, CP) = ±30^o. Следовательно, P — центр правильного треугольника со стороной AB. Для точек Q и R доказательство аналогично. Треугольник PQR равносторонний, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC (см. задачу 1.49, б)). Можно проверить, что  (PR, RQ) = 60^o = (OE, OG) = (OP, OQ), т. е. точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.013