ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56583
Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

Решение

Обозначим точки пересечения и углы так, как показано на рис. Достаточно проверить, что  x = 90o. Углы четырехугольника BMRN равны  180o - $ \varphi$,$ \alpha$ + $ \varphi$,$ \beta$ + $ \varphi$ и x, поэтому равенство  x = 90o эквивалентно равенству  (2$ \alpha$ + $ \varphi$) + (2$ \beta$ + $ \varphi$) = 180o. Остается заметить, что  2$ \alpha$ + $ \varphi$ = $ \angle$BAD и  2$ \beta$ + $ \varphi$ = $ \angle$BCD.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 5
Название Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер 02.040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .