Задача 56583

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

Решение

Обозначим точки пересечения и углы так, как показано на рис. Достаточно проверить, что  x = 90^o. Углы четырехугольника BMRN равны  180^o - , + , + и x, поэтому равенство  x = 90^o эквивалентно равенству  (2 + ) + (2 + ) = 180^o. Остается заметить, что  2 + = BAD и  2 + = BCD.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.040