Задача 56584

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:
а)  BPC = 90^o;
б)  S_ABP : S_ABC = 1 : 2.

Решение

а) Достаточно доказать, что если P₁ — точка биссектрисы угла B (или ее продолжения), из которой отрезок BC виден под углом  90^o, то P₁ лежит на прямой MN. Точки P₁ и N лежат на окружности с диаметром CO, где O — точка пересечения биссектрис, поэтому  (P₁N, NC) = (P₁O, OC) = (180^o - A)/2 = (MN, NC).
б) Так как  BPC = 90^o, то  BP = BC cos(B/2), поэтому S_ABP : S_ABC = (BP sin(B/2)) : (BC sin B) = 1 : 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.041