Задача 56586

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Точки A₂, B₂ и C₂ взяты на прямых BC, CA и AB так, что  (PA₂, BC) = (PB₂, CA) = (PC₂, AB). Докажите, что  A₂B₂C₂ A₁B₁C₁.

Решение

Точки A₂, B₂, C и P лежат на одной окружности, поэтому  (A₂B₂, B₂P) = (A₂C, CP) = (BC, CP). Аналогично  (B₂P, B₂C₂) = (AP, BP). Следовательно,  (A₂B₂, B₂C₂) = (BC, CP) + (AP, AB) = (B₁B, B₁C₁) + (A₁B₁, B₁B) = (A₁B₁, B₁C₁). Аналогично проверяется, что и все другие углы треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны или составляют в сумме  180^o; следовательно, эти треугольники подобны (см. задачу 5.42).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.043