Информация о задаче

Задача 56588

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

Решение

Пусть $\angle$ BAD = 2 $\alpha$ и $\angle$ CBA = 2 $\beta$ ; для определенности будем считать, что $\alpha$ $\geq$ $\beta$ . Возьмем на стороне CD точку E так, что DE = DA. Тогда CE = CD - AD = CB. Угол при вершине C равнобедренного треугольника BCE равен 180^o - 2 $\alpha$ , поэтому $\angle$ CBE = $\alpha$ . Аналогично $\angle$ DAE = $\beta$ . Биссектриса угла B пересекает CD в некоторой точке F. Так как $\angle$ FBA = $\beta$ = $\angle$ AED, четырехугольник ABFE вписанный, а значит, $\angle$ FAE = $\angle$ FBE = $\alpha$ - $\beta$ . Следовательно, $\angle$ FAD = $\beta$ + ( $\alpha$ - $\beta$ ) = $\alpha$ , т. е. AF — биссектриса угла A.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.045