Условие
Докажите, что если для вписанного четырехугольника
ABCD
выполнено равенство
CD =
AD +
BC, то точка пересечения биссектрис
углов
A и
B лежит на стороне
CD.
Решение
Пусть
BAD = 2
и
CBA = 2
; для
определенности будем считать, что
. Возьмем на стороне
CD
точку
E так, что
DE =
DA. Тогда
CE =
CD -
AD =
CB. Угол при вершине
C
равнобедренного треугольника
BCE равен
180
o - 2
,
поэтому
CBE =
. Аналогично
DAE =
. Биссектриса
угла
B пересекает
CD в некоторой точке
F. Так как
FBA =
=
AED, четырехугольник
ABFE вписанный, а значит,
FAE =
FBE =
-
. Следовательно,
FAD =
+ (
-
) =
, т. е.
AF — биссектриса угла
A.
Источники и прецеденты использования
