Условие
Диагонали
AC и
CE правильного шестиугольника
ABCDEF
разделены точками
M и
N так, что
AM :
AC =
CN :
CE =
. Найдите
, если известно, что точки
B,
M и
N
лежат на одной прямой.
Решение
Так как
ED =
CB,
EN =
CM и
DEC =
BCA = 30
o (рис.), то
EDN =
CBM.
Пусть
MBC =
NDE =
,
BMC =
END =
.
Ясно, что
DNC = 180
o -
. Рассматривая треугольник
BNC,
получаем
BNC = 90
o -
.
Поскольку
+
= 180
o - 30
o = 150
o, то
DNB =
DNC +
CNB = (180
o -
) + (90
o -
) = 270
o - (
+
) = 120
o.
Поэтому точки
B,
O,
N и
D (
O — центр шестиугольника) лежат на
одной окружности. При этом
CO =
CB =
CD, т. е.
C — центр этой
окружности, следовательно,
=
CN :
CE =
CB :
CA = 1 :
.
Источники и прецеденты использования
