Условие
Через точку O пересечения биссектрис
треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO,
причем M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно.
Прямые AO и BO пересекают описанную окружность
треугольника ABC в точках A' и B'. Докажите, что точка
пересечения прямых A'N и B'M лежит на описанной окружности.
Решение
Пусть PQ — диаметр, перпендикулярный AB,
причем Q и C лежат по одну сторону от AB; L — точка
пересечения прямой QO с описанной окружностью; M' и N' — точки пересечения прямых LB' и LA' со сторонами AC и BC.
Достаточно проверить, что M' = M и N' = N.
Так как
PA + AB' + B'Q = 180o, то
B'Q = 
A, а значит,
B'LQ = M'AO. Следовательно,
четырехугольник AM'OL вписанный и
M'OA = M'LA = B/2. Поэтому
CMO = (A + B)/2, т. е. M' = M.
Аналогично N' = N.
Источники и прецеденты использования
