Задача 56618

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD.
Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны CD.

Решение

Проведем диаметр AE. BEA = BCP и  ABE = BPC = 90^o, поэтому  EAB = CBP. Углы, опирающиеся на хорды EB и CD, равны, поэтому EB = CD. Так как  EBA = 90^o, расстояние от точки O до AB равно EB/2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	42
Год	1979
вариант
Класс	8
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	42
Год	1979
вариант
Класс	9
задача
Номер	4
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.075