Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79365 (#1)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости а) 7 кругов; б) 6 кругов, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее трёх кругов?

Прислать комментарий Решение

Задача 79362 (#2)

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 8

Имеется несколько гирь, общая масса которых равна 1 кг. Каждой гире присвоен свой номер: 1, 2, 3, .... Доказать, что найдётся такой номер n, что масса гири с номером n строго больше ${\frac{1}{2^n}}$ кг.

Прислать комментарий Решение

Задача 56618 (#3)

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD.
Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны CD.

Прислать комментарий Решение

Задача 79363 (#4)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79367 (#5)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

На химической конференции присутствовало k учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4k вопросов; б) 2k - 2 вопросов.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]