ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79363
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.


Решение

Пусть s, s1, ..., sn – площади квадрата и составляющих его прямоугольников, S, S1, ..., Sn – площади описанных около них кругов. Если стороны k-го прямоугольника равны a и b, то  Sk = ¼ π(a² + b²). Поэтому  πsk = πab ≤ ½ π(a² + b²) = 2Sk.  Следовательно,  2S = πs = π(s1 + ... + sn) ≤ 2(S1 + ... + Sn).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 42
Год 1979
вариант
Класс 7
задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 42
Год 1979
вариант
Класс 8
задача
Номер 4
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 6
Название Неравенства для площадей
Тема Неравенства с площадями
задача
Номер 09.043

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .