Задача 79363

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Условие

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Решение

Пусть s, s₁, ..., s_n – площади квадрата и составляющих его прямоугольников, S, S₁, ..., S_n – площади описанных около них кругов. Если стороны k-го прямоугольника равны a и b, то  S_k = ¼ π(a² + b²). Поэтому  πs_k = πab ≤ ½ π(a² + b²) = 2S_k.  Следовательно,  2S = πs = π(s₁ + ... + s_n) ≤ 2(S₁ + ... + S_n).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	42
Год	1979
вариант
Класс	7
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	42
Год	1979
вариант
Класс	8
задача
Номер	4
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.043