Задача 56620

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Докажите, что середины сторон четырехугольника ABCD и проекции точки P на стороны лежат на одной окружности.

Решение

Середины сторон четырехугольника ABCD являются вершинами прямоугольника (см. задачу 1.2), поэтому они лежат на одной окружности. Пусть K и L — середины сторон AB и CD, M — точка пересечения прямых KP и CD. Согласно задаче 2.76  PM CD, а значит, M — проекция точки P на сторону CD и точка M лежит на окружности с диаметром KL. Для остальных проекций доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.077