Задача 56457

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.
Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?

Решение

  Пусть K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно четырёхугольника ABCD. Тогда  KL = MN = ^AC/₂  и отрезок KL параллелен MN, то есть KLMN – параллелограмм.
  Теперь ясно, что KLMN – прямоугольник, если диагонали AC и BD перпендикулярны; ромб, если  AC = BD;  квадрат, если диагонали AC и BD равны по длине и перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.002