Задача 56628

Тема:    [ Точка Микеля ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Решение

а) Из условия задачи следует, что никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Пусть прямые AB, AC, BC пересекают четвертую прямую в точках D, E, F соответственно (рис.). Обозначим через P точку пересечения описанных окружностей треугольников ABC и CEF, отличную от точки C. Докажем, что точка P принадлежит описанной окружности треугольника BDF. Для этого достаточно проверить, что  (BP, PF) = (BD, DF). Ясно, что  (BP, PF) = (BP, PC) + (PC, PF) = (BA, AC) + (EC, EF) = (BD, AC) + (AC, DF) = (BD, DF). Аналогично доказывается, что точка P принадлежит описанной окружности треугольника ADE.
б) Воспользуемся обозначениями рис. Согласно задаче а) описанные окружности треугольников ABC, ADE и BDF проходят через точку P, поэтому их можно рассмотреть как описанные окружности треугольников ABP, ADP и BDP. Следовательно, их центры лежат на окружности, проходящей через точку P (см. задачу 5.86). Аналогично доказывается, что центры любых трех из данных окружностей лежат на окружности, проходящей через точку P. Следовательно, все четыре центра лежат на окружности, проходящей через точку P.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	10
Название	Точка Микеля
Тема	Точка Микеля
задача
Номер	02.083