Задача 56629

Тема:    [ Точка Микеля ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁, B₁ и A₁; O, O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников  ABC, AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C; H, H_a, H_b и H_c — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а)  O_aO_bO_c ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам  OH, O_aH_a, O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

Решение

а) Пусть P — точка Микеля для прямых AB, BC, CA и A₁B₁. Углы между лучами PA, PB, PC и касательными к окружностям  S_a, S_b, S_c соответственно равны (PB₁, B₁A) = (PC₁, C₁A),(PC₁, C₁B) = (PA₁, A₁B),(PA₁, A₁C) = (PB₁, B₁C). А так как  (PC₁, C₁A) = (PC₁, C₁B) = (PA₁, A₁C) = , то при повороте на угол  с центром P прямые PA, PB и PC переходят в касательные к окружностям S_a, S_b и S_c, а значит, при повороте на угол  90^o - эти прямые переходят в прямые PO_a, PO_b и PO_c. Кроме того,  PO_a/PA = PO_b/PB = PO_c/PC = 1/2 sin. Следовательно, при повороте на  90^o - и гомотетии с центром P и коэффициентом  1/2 sin треугольник ABC переходит в O_aO_bO_c.
б) Рассмотренное в решении задачи а) преобразование переводит центр O описанной окружности треугольника ABC в центр O' описанной окружности треугольника O_aO_bO_c, а ортоцентр H треугольника ABC в ортоцентр H' треугольника O_aO_bO_c. Достроим треугольник OO'H' до параллелограмма OO'H'M. Так как  OH/OM = OH/O'H' = 2 sin и  HOM = (HO, O'H') = 90^o - , то MH = MO, т. е. точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку OH. Остается заметить, что для вписанного четырехугольника  OO_aO_bO_c с точка M определена однозначно: взяв вместо точки O любую из точек  O_a, O_b, O_c, получим ту же самую точку M (см. задачу 13.33).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	10
Название	Точка Микеля
Тема	Точка Микеля
задача
Номер	02.084