Задача 57715

Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть H_a — ортоцентр треугольника BCD, M_a — середина отрезка AH_a; точки M_b, M_c и M_d определяются аналогично. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c и M_d совпадают.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности данного четырехугольника, a = , b = , c = и  d = . Если H_a — ортоцентр треугольника BCD, то = b + c + d (см. задачу 13.13). Поэтому = (a + b + c + d)/2 = = = .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.033