ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56637
Тема:    [ Вписанный угол (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2. Докажите, что прямые  A1B, A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.

Решение

Если угол C прямой, то решение задачи очевидно: C является точкой пересечения прямых  A1B, A2B2, AB1. Если же  $ \angle$C$ \ne$90o, то описанные окружности квадратов ACA1A2 и BCB1B2 имеют кроме C еще одну общую точку — точку C1. Тогда  $ \angle$(AC1, A2C1) = $ \angle$(A2C1, A1C1) = $ \angle$(A1C1, C1C) = $ \angle$(C1C, C1B1) = $ \angle$(C1B1, C1B2) = $ \angle$(C1B2, C1B) = 45o (или же  -45o; важно лишь то, что все углы имеют один и тот же знак). Поэтому  $ \angle$(AC1, C1B1) = 4 . 45o = 180o, т. е. прямая AB1 проходит через точку C1. Аналогично A2B2 и A1B проходят через точку C1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 11
Название Разные задачи
Тема Вписанный угол (прочее)
задача
Номер 02.092

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .