Задача 56658

Тема:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что  CK = BL = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

Решение

Пусть M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB и BC. Тогда  BK + AN = BM + AM = AB, поэтому  CK + CN = a + b - c.
Пусть P и Q — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон AB и BC. Тогда  AP = AB + BP = AB + BL и  AQ = AC + CQ = AC + CL. Поэтому  AP + AQ = a + b + c. Следовательно, BL = BP = AP - AB = (a + b - c)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	1
Название	Касательные к окружностям
Тема	Прямые, касающиеся окружностей
задача
Номер	03.002