Задача 56660

Тема:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Условие

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что  AB + BC = AD + DC.

Решение

Пусть прямые AB, BC, CD и DA касаются окружности в точках P, Q, R и S. Тогда CQ = CR = x, поэтому  BP = BC + CQ = BC + x и  DS = DC + CR = DC + x. Следовательно,  AP = AB + BP = AB + BC + x и  AS = AD + DS = AD + DC + x. Учитывая, что AP = AS, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	1
Название	Касательные к окружностям
Тема	Прямые, касающиеся окружностей
задача
Номер	03.004