Условие
На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две
точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если
все пять заштрихованных четырехугольников описанные,
то четырехугольник ABCD тоже описанный.
Решение
Обозначим некоторые точки касания так, как показано на
рис. Сумма длин одной пары противоположных сторон среднего
четырехугольника равна сумме длин пары других его сторон.
Продолжим стороны этого четырехугольника до точек касания
с вписанными окружностями остальных четырехугольников (ST — один из полученных отрезков). При этом обе суммы длин пар
противоположных отрезков увеличатся на одно и то же число.
Каждый из полученных отрезков является общей касательной к паре
к угловыхк окружностей; его можно заменить на равную ему по
длине другую общую внешнюю касательную (т. е. ST заменить на QR).
Для доказательства равенства
AB + CD = BC + AD остается
воспользоваться равенствами вида AP = AQ.
Источники и прецеденты использования
